שווי משקל תחרותי עם ייצור

שווי משקל תחרותי עם ייצור 1 התנהגות היצרן )תזכורת מחירים ב'( ma π = p -p s.t. = ƒ)( ma p ƒ)(-p בעיית הפירמה: או: 2 1

3 התנהגות היצרן )תזכורת מחירים ב'( * רווח במונחי p Slopes p * f ' p p f () תמונת ראי של בעיית הפירמה f ( 0 ) * p MP f '( ) p * עלות גורם הייצור רווח במונחי עקומת התמורה 4 * 0 2

התנהגות תחרותית בכלכלת חליפין-ייצור בכלכלת חליפין-ייצור עם בעלות פרטית יש פרטים ופירמות. לכל פרט יש העדפות, סל תחילי של מוצרים )בדרך כלל גו"י(, ואחוזי בעלות על הפירמות השונות. לכל פירמה יש פ' ייצור. וקטור מחירים "נזרק" לחלל העולם. פירמה תחרותית מתייחסת למחירים כנתונים וממקסמת את רווחיה, כתוצאה מתקבלים ביקושים לגורמי ייצור, היצעים למוצרים ורמות רווח. פרט תחרותי מתייחס למחירים כנתונים, "יודע" מהם הרווחים הצפויים מהפירמות השונות, וממקסם את רווחתו בהינתן מגבלת התקציב הנגזרת מהמחירים ומהסל התחילי שלו, בתוספת הרווחים המגיעים לו בשל % הבעלות שלו בפירמות. 5 שיווי משקל תחרותי עם ייצור וקטור המחירים הנ"ל מהווה שיווי משקל תחרותי, אם אמונות הפרטים לגבי רווחי הפירמות מתגשמות, ואם כל השווקים מתנקים. לסיכום, בכלכלת חליפין-ייצור, שיווי משקל תחרותי הינו: הקצאה אפשרית ווקטור מחירים עבורם: תכנית הייצור של כל יצרן ממקסמת את רווחיו בהינתן המחירים. הסל אותו מקבל כל פרט ממקסם את תועלתו בהינתן קו התקציב הנובע מהסל התחילי, הרווחים המחולקים )על פי אחוזי הבעלות(, ווקטור המחירים. 6 3

שיווי משקל תחרותי עם ייצור הערות: הקצאה אפשרית מבטאת ניקוי שווקים. המקסום בהינתן המחירים מבטא התנהגות תחרותית. חוק וולראס ממשיך להתקיים. הפרטים לא מתערבים בניהול הפירמות, ולא חושבים איך מכירות להן או קניות מהן משפיעים על הרווחים. אין כאן מסחר במניות. אם היה מסחר, מחיר המניה היה שווה לרווחי הפירמה. 7 רובינסון קרוזו לפירמה )קרוזו בע"מ( פונקצית ייצור ) p. p =ƒ)x בהינתן מחירי השוק )p= p( p,1= הפירמה ממקסמת רווח π. רובינסון הצרכן הוא בעל המניות היחיד של קרוזו בע"מ. לכן הוא מקבל את רווחי הפירמה π. בנוסף, יש לו ביממה 24= 0 X שעות פנאי שחלק X P מהן הוא יכול למכור בשוק )לעבוד(. 8 4

קרוזו בע"מ )תמונת ראי של בעיית הפירמה( עקומת התמורה f ( 0 p) MP p p p 1 p * רווח π )במונחי ( 9 0 - p p רובינסון הצרכן קו תקציב שיפוע p /p =p l * סל תחילי π 10 X 0 -X P * X P * 5

שווי משקל תחרותי * סל תחילי של רובינסון הצרכן π 11 X 0 -X P * X p * כיצד מחשבים ש"מ תחרותי עם ייצור נתונות פונקציות הייצור של הפירמות, העדפות, סלים תחיליים ותיקי מניות )בעלות( של הפרטים. מחשבים את פונקציות הביקוש )לגורמי ייצור(, פונקציות ההיצע )של מוצרים( ופונקציות הרווח של כל פירמה. מציבים את רווחי הפירמות לתוך מגבלות התקציב של הפרטים, ומחשבים את פונקציות הביקוש )למוצרים( וההיצע )של גורמי ייצור( של הפרטים. 12 6

כיצד מחשבים ש"מ תחרותי עם ייצור מנקים את השווקים על ידי פתרון מערכת משוואות n מספר המוצרים וגורמי הייצור, עם n משוואות, )n נעלמים שהם המחירים( המתקבלת מהשוואת הביקוש המצרפי לכל מוצר וגורם ייצור לכמות המוצעת שלו. כמו מקודם משוואות אילו אינן בלתי תלויות ולמעשה ניתן לוותר על אחת. הקצאת שיווי המשקל מתקבלת מחישוב תכניות הייצור של הפירמות והביקושים של הפרטים, עבור יחסי המחירים שחושבו. הסיבה לדרגת החופש בקביעת המחירים היא ההומוגניות מדרגה אפס של הביקושים וההיצעים, וההומוגניות מדרגה אחד של הרווחים. 13 שמ"ת עם ייצור דוגמא עם צרכן אחד רובינסון הצרכן פ' תועלת מפנאי ותצרוכת: u),l(=l הקצאה התחלתית =24 0 l רובינסון הצרכן מחלק את זמנו בין פנאי )l( לעבודה )L(: l 0 =l+l פירמה קרוזו בע"מ פ ' ייצור ½ ƒ)l(=l בבעלות רובינסון 14 ננרמל מחירים בכך שנקבע 1= p. 7

שמ"ת עם ייצור דוגמא עם צרכן אחד בעיית קרוזו בע"מ: מקסום רווחים מחייב,mp L p =p l כלומר,ƒ 1=p l ולכן ½L -½ =p l. S =1/(2p ולכן L D =1/(2p l ) 2 l ) מכאן ש לפיכך, הרווח של קרוזו הוא: π=1 S -p l L D =1/(2p l )-p l /(2p l ) 2 =1/(4p l ) 15 שמ"ת עם ייצור דוגמא עם צרכן אחד בעיית רובינסון הצרכן: התקציב שלו הוא 24 יחידות l, ועוד רווחים מהפירמה בסך ) l 4p)/1. לפיכך הוא פותר ma,l l s.t. p l l+ 1 = p l 24+1/(4p l ) לפיכך: D =(p l 24+1/(4p l ))/(2 1)=12p l +1/(8p l ) 16 8

17 שמ"ת עם ייצור כעת ננכה את אחד השווקים, לדוגמא : דוגמא עם צרכן אחד S =1/(2p l ) D =12p l +1/(8p l ) 12p l +1/(8p l )=1/(2p l ) p l =1/ 32 ועכשיו אפשר לחשב את הקצאת שווי המשקל: קרוזו בע"מ מייצרת, ורובינסון צורך =1/(2(1/ 32))= 8 L D =1/(2p l ) 2 =8 -L=24-8=16 l=l 0 שעות. צריכת העבודה של הפירמה: ולפיכך רובינסון נח דוגמא עם שני צרכנים במשק ישנם שני צרכנים: צרכן 1 U 1 ( 1, 1 ) = 1¼ 1¾ ; w 1 = (10,0) ; θ 1 = 0.4 צרכן 2 U 2 ( 2, 2 ) = ln( 2 )+ 2 ; w 2 = (15,0) ; θ 2 = 0.6 p = 10 p ½ הפירמה מייצרת באמצעות על ידי: )ננרמל =1 )p =p,p 18 9

דוגמא עם שני צרכנים בעיית הפירמה: π=ma 10 p½ - p p תנאי סדר ראשון: 5 -½ p = p )הפירמה משווה את ערך התפוקה השולית של גורם היצור למחירו.( מתנאי הסדר הראשון הנ"ל נקבל את ביקוש הפירמה לגורם יצור. p (p,1) = 25/p 2 נציב את p שמצאנו בפ' הייצור, ונקבל את פ' ההיצע של הפירמה ל- : p (p,1) = 50/p נציב את הגדלים p, p בפ' המטרה, ונקבל את פ' הרווח של הפירמה: π p (p,1) = 25/p 19 בעיית צרכן 1: דוגמא עם שני צרכנים ma 1, 1 1¼ 1 ¾ s.t. p 1 + 1 = 10p+10/p כאשר המחובר השני באגף ימין הינו חלקו של צרכן הפירמה. מבעיית צרכן זו נגזרת מערכת הביקושים הבאה: 1 (p,1)=(10p+10/p)/4p 1 ברווחי 1 (p,1)=3(10p+10/p)/4 20 10

בעיית צרכן 2: דוגמא עם שני צרכנים 2 ma 2,2 ln( 2 )+ 2 s.t. p 2 + 2 = 15p+15/p כאשר המחובר השני באגף ימין הינו חלקו של צרכן הפירמה. מבעיית צרכן זו נגזרת מערכת הביקושים הבאה: ברווחי 2 (p,1)=1/p, 2 (p,1)=15p+15/p-1 21 דוגמא עם שני צרכנים עד כה ראינו כיצד כל יחידה כלכלית מקסמה את פ' המטרה שלה בהינתן המחירים. השלב הבא יהיה לפתור עבור המחיר p שינקה את השווקים. תנאי שיווי משקל בשוק : 1 (p,1)+ 2 (p,1)+ p (p,1)=25 22.5p 2 -p-27.5=0 p=1.128 כלומר מחירי שיווי משקל הינם: והקצאת שיווי משקל הינה: 22 (p,p )=(1.128,1) 1 =4.46, 1 =15.11, 2 =0.89, 2 =29.22, רווח הפירמה הוא: 22.16=π p =19.65, p =44.33 11

דוגמא עם שני צרכנים ראינו כי המחיר שניקה את שוק ה-, מנקה גם את שוק. זהו חוק וולראס. כמובן שהיינו יכולים באותו אופן לרשום את משוואת שיווי המשקל בשוק, וממנה לפתור עבור p. במקרה זה: 1 (p,1)+ 2 (p,1) = p (p,1( 7.5p+7.5/p+15p+15/p-1 = 50/p 22.5p 2 -p-27.5 p=1.128 23 פ' התועלת של הפרט: דוגמא עם מוצרים תחליפיים (,l) = +l פ' הייצור: ƒ)l( = L 0.5 l 0 היא כמות l שעומדת לרשות הצרכן. ננרמל את המחירים על ידי שנקבע 1= p. את התנהגות הפירמה מצאנו בדוגמת רובינסון: L D =1/(2p l ) 2 S =1/(2p l ) π=1/(4p l ) 24 12

התנהגות הצרכן: דוגמא עם מוצרים תחליפיים l D =l 0, D =0 l D =0, D = l 0 p l +π אם 1> l p הצרכן יצרוך אך ורק פנאי: : הצרכן יצרוך אך ורק p l אם 1< אם 1= l p הצרכן אדיש בין כל ההקצאות )האי-שליליות( של l ו-, שמקיימים את מגבלת התקציב שלו. ברור שאם 0< p ו- > l p הפירמה תבקש כמות חיובית של L. מאידך, אם 1> l p היצע העבודה של הפרט יהיה 0. לפיכך, שיווי המשקל לא יכול להיות בתחום 1> l p. 25 נבחן שתי אפשרויות לגבי l: 0 דוגמא עם מוצרים תחליפיים אפשרות א': =0.1 0 l ראינו כבר ש- 1> l p לא יכול להיות מחיר שיווי משקל. האם יתכן ש- =1 l?p במקרה זה =1/4 D.L D 0 =0.1<L אבל, l כלומר אפילו אם הפרט לא צורך בכלל פנאי הוא לא יספק מספיק עבודה כדי לענות על הביקוש של הפירמה לעבודה. נשאר לבדוק את >1 l.p במקרה זה -2 ) l,l D =(2p ו- =0 D.l נציב ב- =0.1 0 =l ונקבל: =0.1-2 ) l.0+(2p l D +L D לפיכך =1.58 l.p השווקים מתנקים עם =0.1 0,L D =l ו- =0 D. D = S =0.1 0.5.l הצרכן עובד את כל הזמן שברשותו וצורך את מירב ה- שהוא מסוגל בעזרת ההכנסה הנובעת מעבודתו ומרווחיו. )ניתן לוודא את התוצאה עם שוק ה- ) 26 13

דוגמא שמ"ת עם מוצרים תחליפיים אפשרות ב': =24 0 l ננסה שוב עם 1= l p. מקבלים =1/4<24 D.L נציב ב =24 D,l D +L ונקבל: l D =24-1/4=23.75 ושוק המוצר מתנקה כאשר =1/2 S. D = אפשר לבדוק את החישוב דרך הביקוש של הפרט:. D =π+l S p l =1/4+1/4*1=1/2 27 28 דוגמא עם תשואה קבועה לגודל טכנולוגיית היצור של = k : טכנולוגיית היצור של =k : )תק"ל( ננרמל את p k ל- 1 ראינו מקודם שמקסום רווח ביצור מחייב:.π =p 2 /4, s =p /2,k D =¼p 2 מכיוון שיש תק"ל בייצור אנו יודעים שאם 1< p הפירמה תבקש כמות אינסופית של k ולכן זה אינו שיווי משקל. נותרו 2 אפשרויות:. והפירמה מייצרת 0 יחידות p <1.k D =k 0 -k D הפירמה אדישה לגבי רמות הייצור, ולכן p 1= בכל מקרה הרווח הוא 0. 14

דוגמא עם תשואה קבועה לגודל כעת נניח שיש שני צרכנים, לכל אחד חצי יחידת k, וחצי מהבעלות על הפירמות. פ' התועלת של הצרכנים: u A ( A, A )= A A 2 u B ( B, B )= B2 B הביקוש של הצרכנים: ( A, A ) D =)⅓I A /p,⅔i A /p ), ( B, B ) D =)⅔I B /p,⅓i B /p ) ההכנסה של כל פרט היא: I A =I B =½p k +π /2+π /2=½+⅛p 2 למציאת ש"מ יש לפתור עבור,p,p,k,k, A, B, A, B בעזרת המשוואות לעיל ו- מ 2 3 - המשוואות לניקוי השווקים: 29 AD + BD = S ; AD + BD = S ; k AD +k BD =k 0 30 דוגמא עם תשואה קבועה לגודל משוואת ניקוי השוק עבור היא רגילה: )½+⅛p 2 )/3p +2)½+⅛p 2 )/3p =p /2 p =2/ 3 משוואות ניקוי השווקים האחרות שונות במקצת בגלל התק"ל. אנחנו יודעים שאם בש"מ חיובי אז 1= p, ולכן הביקוש ל- : AD + BD =⅔I A /p +⅓I B /p =⅔)½+⅛p 2 (+⅓)½+⅛p 2 ) ההיצע של נקבע ע"י הביקוש. הצבה של המחיר שמצאנו ל- נותנת ⅔= D. S = מכאן ש- ⅔= D k )כמות k הדרושה לייצור (. במשוואת ניקוי השווקים השלישית אפשר להשתמש לבדיקה: k D =¼p 2, k 0 =1 k D =1-¼p 2 =⅔ 15

לרשימות מפורטות על נושא מציאת שווי משקל תחרותי, כולל דוגמאות נוספות, ניתן להוריד מאתר הקורס את הקבצים: CE Eamples CE- Another Eample 31 משק פתוח ומסחר בינ"ל )רשות( 32 16

התנהגות תחרותית במשק פתוח נניח כי במשק יש שני מוצרים X ו Y, שני גורמי ייצור K ו - L, צרכן אחד )מייצג( עם העדפות U ושני יצרנים עם פונקציות ייצור F ו.G נניח כי המשק הינו משק קטן והיחידות הכלכליות במשק מתייחסות למחירי המוצרים הבינלאומיים כנתונים. מחירי גורמי הייצור לעומת זאת נקבעים על ידי כוחות השוק בתוך המשק. מהו שיווי משקל תחרותי? וקטור מחירים ותכנית ייצור צריכה שמנקה את השווקים בה כל יצרן ממקסם את רווחיו וכל צרכן )למעשה הצרכן המייצג( ממקסם את תועלתו. בניקוי שווקים המגבלה היא למעשה ניקוי השווקים ל K ול L מאחר וניתן לקנות ולמכור כל כמות של X ו Y בשווקים הבינלאומיים. 33 שיווי משקל במשק סגור נניח כי במשק יש גורם ייצור אחד K. במשק יש 800 יחידות K 0.5 0.5 ייצור X ניתן על ידי, X=K X וייצור - Y על ידי Y=K Y במשק יש "פרט מייצג" אשר העדפותיו ניתנות על ידי XY )שימו לב כי כל ה - K והפירמות נמצאים בבעלות הפרט המייצג(. שיווי משקל אוטרקי: ננרמל על ידי בחירת 1= K. P - נקבל כתנאי סדר ראשון 0.5P Ma P X K 0.5 X K X יצרן X יפתור - X X -K = 1 0.5 מכאן: K X =P 2 X /4 ; X P =P X /2 ; X = P 2 X /4 ובאופן דומה נקבל עבור יצרן ה - Y כי : K Y =P 2 Y /4 ; Y P =P Y /2 ; Y = P 2 Y /4 הצרכן המייצג יפתור: Ma XY S.T. P X X+P Y Y=800+P 2 X /4+P 2 Y /4 ונקבל כי : X D = (800+P 2 X /4+P 2 Y /4)/(2P X ); Y D = (800+P 2 X /4+P 2 Y /4)/(2P Y ) 34 17

שיווי משקל במשק סגור - המשך X D =X P בכדי לנקות את השווקים נפתור את מערכת המשוואות: P X =40 ; P Y = 40 ; K X =400 ; K Y =400 ; X=20 ; Y=20 Y D =Y P זו נקודת הייצור/צריכה של המשק האוטרקי. 35 שיווי משקל במשק פתוח בכדי לנקות את שוק ה =20 Y P X =60 ; P נניח כי המחירים העולמיים הנם : כלומר למשק יש יתרון יחסי בייצור X. נחפש את מחיר שיווי המשקל של K ואת נקודות הצריכה והייצור של המשק. נקבל כתנאי סדר ראשון Ma 60K 0.5 X X -P K K יצרן X יפתור - מכאן: 30K -0.5 X = P K נקבל עבור יצרן ה- Y כי : ובאופן דומה K X =900/P K2 ; X P =30/P K ; X =900/P K P K =1.25 0.5. ונקבל K X +K Y =800 נפתור: K - K Y =100/P K2 ; Y P =10/P K ; Y =100/P K לכן. =89.44 Y K X =720 ; X P =26.83 ; X =804.98 ; K Y =80 ; Y P =8.94 ; הכנסתו של הצרכן המייצג היא 1788.85=804.98+89.44+ 800 1.25 0.5 הצרכן יפתור: Ma XY S.T. 60X+20Y=1788.85 ונקבל כי : X C = 1788.85/120=14.91 ; Y C = 1788.85/40=44.72 זו תהיה נקודת הצריכה. המשק ייצא 11.93 יחידות X במחיר 60 וייבא 35.78 יחידות Y 36 במחיר 20 18

מסחר בין לאומי p /p בינ"ל מקסום תועלת במחירים בינ"ל 37 יבוא π/p קניית גו "י ע"י הפירמה המקומית מקסום רווחים במחירים בינ"ל אופטימום ללא מסחר בינ"ל צריכת גו"י ע"י הפרט יצוא ייצור מקומי צריכת ע"י הפרט 19